繁分数是分子和分母中都有分数的分数。因此，繁分数有时也被称为是“叠分数”。根据分子和分母中分数的个数、变量的个数以及变量的复杂度的不同，化简繁分数的难易程度也不同。阅读本文，学习如何化简繁分数。 ## 步骤 ### 1 必要的话，将分子和分母化简成一个分数。 并不是所有的繁分数都很难算，事实上，分子和分母中分别只含有一个分数的繁分数就很容易化简。所以，如果繁分数的分子或分母（或者分子和分母），包含了多个分数或者分数和整数，那么你需要先将分子或分母上的分数化简成一个分数。你有可能会需要求几个分数的最小公分母。 例如，化简（3/5 + 2/15）/（5/7 - 3/10）。首先，先将分子和分母中的式子计算出来，得到一个分数。 先化简分子。最小公分母为15，所以，用3/5乘上3/3，这样，分子就变成了9/15 + 2/15，结果为11/15。 再化简分母。最小公分母为70，所以，用5/7乘上10/10，用3/10乘上7/7。这样，分母就变成了50/70 - 21/70，结果为29/70。 因此，繁分数就变成了（11/15）/（29/70）。 ### 2 求分母位置上分数的倒数。 根据定义，除以一个数，就相当于乘以这个数的倒数。现在，繁分数的分子和分母上都只有一个分数，我们可以利用除法的这一性质，化简繁分数。首先，求出繁分数分母位置上分数的倒数。方法很简单，只需要交换分子和分母即可。 本例中，繁分数（11/15）/（29/70）分母位置上的分数是29/70。要求它的倒数，只需要交换29和70的位置即可，得到70/29。 注意，如果分母上的数字是整数，你需要将它视为分数，然后再求出它的倒数。比如，如果繁分数是（11/15）/（29），那么分母可以看做是29/1，所以它的倒数是1/29。 ### 3 用繁分数的分子乘以分母的倒数。 现在，你得到了分母的倒数，下面就是用它乘以分子上的分数，这样就能得到简分数了。不要忘了，分数乘法的口诀是，“分子乘以分子得到分子，分母乘以分母得到分母”。 本例中，是用11/15 × 70/29。70 × 11 = 770，15 × 29 = 435，所以，简分数是770/435。 ### 4 求分子和分母的最大公约数，从而进一步化简分数。 现在，我们得到了一个简分数，下面要做的就是尽可能化简它。方法就是找到分子和分母的最大公约数，然后用分子分母同时除以它。 770和435的最大公约数是5。所以，用分子分母除以5，得到154/87。而154和87没有公约数，所以，这就是最终的化简结果了。 ## 步骤 ### 1 尽可能使用反转相乘法。 几乎所有繁分数的分子和分母，都可以分别化简成一个分数，然后再使用反转相乘法，得到简分数。带变量的繁分数也不例外，不过，变量的形式越复杂，整个化简过程也越难，需要的时间也越多。对于那些含有简单变量的繁分数来说，使用反转相乘法是个不错的选择，但是对于分子分母中带有多个变量的繁分数来说，使用下面的化简方法可能会更简单。 例如，（1/x）/（x/6）可以用反转相乘法化简。1/x × 6/x = 6/x2。本题中就不需要使用别的方法。 然而，对于（（（1）/（x+3）） + x - 10）/（x +4 +（（1）/（x - 5）））来说，使用反转相乘法化简是比较复杂的。将分子和分母分别简化成一个分数，然后反转相乘，再将结果进一步化简——整个过程可能会有点复杂，这种情况下，你就需要使用下面提到的方法。 ### 2 如果反转相乘法不是很实际的话，你就需要求出繁分数中，分子和分母的最小公分母。 这个方法的第一步是求出繁分数中所有分式（分子和分母中的）的最小公分母。通常，如果分数的分母中有变量，那么最小公分母就是它们的乘积。 举例说明。就化简上文提到的式子，（（（1）/（x+3）） + x - 10）/（x +4 +（（1）/（x - 5）））。这个繁分数中的分数项是（1）/（x+3）和（1）/（x-5）。这两个分数的最小公分母就是：（x+3）（x-5）。 ### 3 用繁分数的分子部分乘以最小公分母。 求出最小公分母之后，再用它乘以繁分数的分子部分。换句话说，我们需要用整个繁分数乘以（最小公分母）/（最小公分母）。由于（最小公分母）/（最小公分母）的值为1，所以我们这么做没有任何问题。首先，先乘分子。 本例中，我们需要用（（（1）/（x+3）） + x - 10）/（x +4 +（（1）/（x - 5））），乘以（（x+3）（x-5））/（（x+3）（x-5））。分子和分母，分别乘以（x+3）（x-5）。 首先，先计算分子。（（（1）/（x+3）） + x - 10） ×（x+3）（x-5） = （（（x+3）（x-5）/（x+3）） + x（（x+3）（x-5）） - 10（（x+3）（x-5）） = （x-5） + （x（x2 - 2x - 15）） - （10（x2 - 2x - 15）） = （x-5） + （x3 - 2x2 - 15x） - （10x2 - 20x - 150） = （x-5） + x3 - 12x2 + 5x + 150 = x3 - 12x2 + 6x + 145 ### 4 用繁分数的分母部分乘以最小公分母。 继续用你求得的最小公分母，乘以分母部分。分母中的每一项都要乘上最小公分母。 （（1）/（x+3）） + x - 10）/（x +4 +（（1）/（x - 5）））的分母部分是（x +4 +（（1）/（x - 5））），我们需要用它乘上最小公分母。 （x +4 +（（1）/（x - 5））） × （x+3）（x-5） = x（（x+3）（x-5）） + 4（（x+3）（x-5）） + （1/（x-5））（x+3）（x-5） = x（x2 - 2x - 15） + 4（x2 - 2x - 15） + （（x+3）（x-5））/（x-5） = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + （x+3） = x3 + 2x2 - 23x - 60 + （x+3） = x3 + 2x2 - 22x - 57 ### 5 通过上面的步骤，我们就得到了新的分子和分母。 用繁分数乘以（最小公分母）/（最小公分母），并且合并同类项之后，你就得到了分子和分母中不含分数的简分数。也许你已经注意到了，繁分数中的每个分数乘以最小公分母之后，这些分数的分母就都约去了，只留下了变量和整数。 用新的分子和分母，我们可以构建新的分数。新分数的值和原繁分数相等，但是其中不含有分数项。分子是x3 - 12x2 + 6x + 145，分母是x3 + 2x2 - 22x - 57，所以，新的分数就是（x3 - 12x2 + 6x + 145）/（x3 + 2x2 - 22x - 57）