要求直线的方程，你需要做两件事：一是知道直线上的一点，而是直线的斜率。但是如何求线上一点以及斜率呢，求得后还需要怎么做才能求出直线方程呢？这些都视情况而定。出于简单，本文以斜截式 y = mx + b为例，暂不讨论点斜式 (y - y1) = m(x - x1). ## 步骤 ### 1 了解基本概念。 在求直线方程之前，你需要了解一些基本概念，这些概念是： 一个点由一对数字表示，比如 (-7, -8) 或者(-2,-6)。 第一个数字代表“x轴坐标”，描述了一点在水平方向的位置（在原点左侧或右侧，以及到原点的距离）。 第二个数字代表“y轴坐标”，描述了一点在书脂肪的位置（在原点上方或下方，以及到原点的距离）。 两点之间的斜率，定义为“倾斜的程度”，即从一点移动到另一点，竖直方向以及水平方向上移动的距离。 如果两条直线不相交，那么两直线平行。 如果两直线相交成90度角，那么两直线垂直。 ### 2 辨认出问题的类型。 给出一点坐标和斜率。 给出两点坐标，斜率未知。 一点坐标以及平行直线。 一点坐标以及垂直线。 ### 3 使用下面的四种方法之一解决问题。 根据所给信息的不同，求解方法也不一样。 ## 步骤 ### 1 计算方程的截距。 截距（表达式中的b）是直线和y轴交点的纵坐标。你可以通过整理表达式来求得直线的截距。新的表达式的形式是：b = y - mx. 将斜率和坐标代入上式。 用斜率(m)乘以点的横坐标。 用点的纵坐标减去上式结果。 最后的结果就是 b，即截距。 ### 2 补充表达式：y = ____ x + ____ 。 ### 3 第一个空格处填斜率。 ### 4 第二个空格处填截距。 ### 5 解例题， "已知直线过点(6, -5)，且斜率为2/3，求直线方程？" 列方程：b = y - mx. 代入数值计算 b = -5 - (2/3)6. b = -5 - 4. b = -9 代回方程检查，结果确实是-9。 写出方程：y = 2/3 x - 9 ## 步骤 ### 1 计算两点之间的斜率。 “斜率”又叫“坡度”，它描述了在水平方向移动一定距离，在切直方向上升或下降的数值。计算公式是： (Y2 - Y1) / (X2 - X1) 将两点的坐标代入公式。（两个坐标意味着有两个“y”值，两个"x"值）先填哪一个坐标都可以，只要保证相应的y值对应相应的x值即可。例如： 点(3, 8)和点(7, 12)。 (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 12 - 8 / 7 - 3 = 4/4, 或1。 点(5, 5) 和点(9, 2)。(Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 2 - 5 / 9 - 5 = -3/4。 ### 2 代入一个点的坐标之后，就把这个点划掉，以免不小心再次代入该点。 ### 3 计算直线的截距。 将方程y = mx + b变形为b = y - mx。还是同一个方程，只是字母交换了位置。 把斜率和坐标代入。 用斜率(m)乘以横坐标。 用纵坐标减去上式结果。 求得b，或截距。 ### 4 补充表达式：y = ____ x + ____ 。 ### 5 第一个空格处填斜率。 ### 6 第二个空格处填截距。 ### 7 解例题。 “已知两点(6, -5)和(8, -12)，求直线方程？” 求斜率。斜率= (Y2 - Y1) / (X2 - X1) -12 - (-5) / 8 - 6 = -7 / 2 斜率是 -7/2(从第一个点到第二个点，我们需要先向下移动7，然后向右移动2，所以斜率是-7比2)。 列出方程 b = y - mx。 代入求解。 b = -12 - (-7/2)8. b = -12 - (-28). b = -12 + 28. b = 16 注意：由于横坐标代入的是8，因此纵坐标必须代入-12。如果横坐标代入6，那纵坐标必须代入-5。 带回原式，检查结果确实是16。 所求方程是：y = -7/2 x + 16 ## 步骤 ### 1 求已知平行直线的斜率。 y之前没有系数时，对应的x系数就是斜率。 比如，y = 3/4 x + 7，斜率是3/4。 比如，y = 3x - 2，斜率是3。 比如，y = 3x，斜率是3。 比如，y = 7，斜率是0 (因为此时x的系数是0)。 比如，y = x - 7，斜率是1。 比如，-3x + 4y = 8，斜率是3/4。 为了求直线的斜率，需要化简y的系数，比如： 4y = 3x + 8 方程两边同时除以"4"：y = 3/4x + 2 ### 2 使用上一步求出的斜率计算直线的截距，公式是b = y - mx。 将斜率和坐标代入上式。 用斜率(m)乘以点的横坐标。 用点的纵坐标减去上式结果。 最后的结果就是 b，即截距。 ### 3 补充表达式：y = ____ x + ____ 。 ### 4 第一个空格处填斜率。平行线有相同的斜率，所以第一步求出的斜率就是最终结果的斜率。 ### 5 第二个空格处填截距。 ### 6 解例题，"已知直线过点(4, 3)，且平行于直线5x - 2y = 1，求直线方程？" 求斜率。所求直线的斜率和已知直线的斜率一样，所以先求出已知直线的斜率： -2y = -5x + 1 两边同时除以"-2" ：y = 5/2x - 1/2 斜率是5/2。 列出方程：b = y - mx。 代入计算。 b = 3 - (5/2)4。 b = 3 - (10)。 b = -7。 带回原式，检查结果确实是-7。 写出方程：y = 5/2 x - 7 ## 步骤 ### 1 求出已知直线的斜率。 具体做法参考上一方法。 ### 2 求出斜率的负倒数。交换分子和分母的位置，然后符号变号。因为两条互相垂直的直线的斜率互为负倒数，所以你需要变换将所求的斜率。 2/3变成-3/2 -6/5 变成5/6 3 (即 3/1) 变成-1/3 -1/2 变成 2 ### 3 使用所求得的斜率计算截距。公式是b = y - mx 将斜率和坐标代入上式。 用斜率(m)乘以点的横坐标。 用点的纵坐标减去上式结果。 最后的结果就是 b，即截距。 ### 4 补充表达式：y = ____ x + ____ 。 ### 5 第一个空格处填第二步求出的斜率。 ### 6 第二个空格处填截距。 ### 7 解例题。 "已知直线过点(8, -1)，且垂直于直线4x + 2y = 9，求直线方程？" 求斜率。所求直线的斜率和已知直线的斜率互为负倒数。先计算已知直线的斜率： 2y = -4x + 9 方程两边同时除以"2"： y = -4/2x + 9/2 斜率是-4/2或-2 -2的负倒数为1/2。 列出方程 b = y - mx。 代入计算 b = -1 - (1/2)8。 b = -1 - (4)。 b = -5。 带回原式检查，结果确实是 -5。 求得方程：y = 1/2 x - 5