二次方程就是含有最高为二次的项的方程。有三种方法可以解这类方程：因式分解法、二次公式法、或者配方法。下面介绍这三种方法。 ## 步骤 ### 1 把所有同类项合并，移到等式一边。 首先要把所有同类项合并，并让x2 保持为正数。要合并，只要加减x2 项、x项和常数项，移到等号一边。一边没有东西了以后，就写0就可以了。以下是方法：[1] 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2 = 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0 3x2 - 11x -4 = 0 ### 2 因式分解表达式。要因式分解，要利用x2 项 (3)的因数、常数项(-4)的因数，相乘后加起来等于中间项数(-11)。按以下步骤做： 因为 3x2 只有一组可能的因数，即 3x 、 x ，写入括号得(3x +/- ? )(x +/- ?) = 0 然后分解4，找出一个组合以相乘得到 -11x 。可以用4和1组合，或者2和2组合。要记得其中一项是负数，因为常数项是-4 试试(3x +1)(x -4) 乘后得到 - 3x2 -12x +x -4。合并-12x 和 x，得到-11x ， 就是目标的中间项。这样因式分解了一个二次方程。 作为例子，我们试试另外一种行不通的解： (3x -2)(x +2) = 3x2 +6x -2x -4 ，合并后得到3x2 -4x -4。虽然-2 和 2 乘起来是-4 ，中间项还是不对，因为要得到-11x，不是 -4x ### 3 让所有括号项等于0，作为分开的等式。 这就是说，让3x +1 = 0 、 x - 4 = 0。这样就可以让你找出两个x解，来确保整个等式等于0。因式分解了以后，只要让括号分别等于0就好。但为什么呢？因为要通过乘法来得到0，根据数学原理有一个因子就必须为0，所以至少有一个括号中的结果要等于0；因此，(3x + 1)或(x - 4)必须等于0。所以，你既可以写成 3 x + 1 = 0 ，也可以写成 x − 4 = 0 。 ### 4 分开解每个方程。 在二次方程式中，有两个x的解，只要独立解出每个解就可以了。 求解 3x + 1 = 0 3x = -1 ..... 减法 3x/3 = -1/3 ..... 除法 x = -1/3 ..... 简化 Solve x - 4 = 0 x = 4 ..... 减法 x = (-1/3, 4) ..... 得出多种可能的解法，即x = -1/3，或者x = 4，答案都一样。 ### 5 在(3x + 1)(x – 4) = 0中验算x = -1/3： 我们来算一算 (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ? =? 0 .....代入 (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 .....简化 (0)(-4 1/3) = 0 .....乘法，得出0 = 0 .....没错，x = -1/3 ### 6 在(3x + 1)(x - 4) = 0中验算x = 4： 我们来算一算(3[4] + 1)([4] – 4) ? =? 0 .....代入 (13)(4 – 4) ?=? 0 .....简化 (13)(0) = 0 .....乘法 0 = 0 ..... 没错，x = 4同样是正确的 所以，两种解法经过单独“验算”，都得出了正确的结果。 ## 步骤 ### 1 合并所有同类项，移到等号一边。 像上面步骤一样，移到一边去，保持x2是正数，按次数大小排列，x2最前，x中间，常数项最后： 4x2 - 5x - 13 = x2 -5 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0 3x2 - 5x - 8 = 0 ### 2 写下二次公式 ：{-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2a ### 3 找出a、b、c的值。 这里a就是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。3x2 -5x - 8 = 0， a = 3， b = -5， c = -8。记下来。 ### 4 把已知的a、b、c代入公式，按以下步骤来做： {-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2 {-(-5) +/-√ ((-5) 2 - 4(3)(-8))}/2(3) = {-(-5) +/-√ ((-5) 2 - (-96))}/2(3) ### 5 算出解。 替代公式中a、b、c以后，计算出各个解。如下： {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) = {5 +/-√(25 + 96)}/6 {5 +/-√(121)}/6 ### 6 简化根式。 如果根号内是完全平方数，就会得到整数，但如果不是，就将其简化为最简形式。如果是负数，则解是复数。这里 √(121) = 11。 于是x = (5 +/- 11)/6。 ### 7 把正数解和负数解解出来。 消除根号以后，就会发现有两根，一根正一根负。即(5 +/- 11)/6，得到两根： (5 + 11)/6 (5 - 11)/6 ### 8 解出两根： (5 + 11)/6 = 16/6 (5-11)/6 = -6/6 ### 9 简化解。 只要上下同除以最大公因数，化简分式就可以。把第一个解除以2，第二个除以6，得到解。 16/6 = 8/3 -6/6 = -1 x = (-1, 8/3) ## 步骤 ### 1 把所有同类项合并到等号一边。 注意a 或 x2 系数是正数。按下列步骤做： 2x2 - 9 = 12x = 2x2 - 12x - 9 = 0 等式中，a 是2，b是-12 ， c 是-9 ### 2 把c 或常数移到等号另一边。 常数项就是不含有变量的项。移到等号右边。 2x2 - 12x - 9 = 0 2x2 - 12x = 9 ### 3 两边同时除以 a ，即x2 系数。 若x2 没有系数，或者说只有系数1，则跳过此步骤。 本例子中要把所有项除以2： 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 = x2 - 6x = 9/2 ### 4 再把 b除以2，得出它的平方，然后两边同时加上这个平方数。 这里b是-6，如下处理： -6/2 = -3 = (-3)2 = 9 = x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9 ### 5 两边同时化简。 左边得到(x-3)(x-3)或 (x-3) 2，在右边加上了数得到9/2 + 9 或 9/2 + 18/2，得到27/2 ### 6 找出两边的平方根。 (x-3) 2 平方根就是(x-3)。27/2 的平方根是±√(27/2)。 由此 x - 3 = ±√(27/2) ### 7 简化根号，解出x。 要简化±√(27/2)，就要找出2或27中的完全平方数因数。9 是 27的一个完全平方数因数，9 x 3 = 27。 要把9提出来，在根号外写出9的平方根3，根号内留下不能分解的3，还有分母的2，然后把等号左侧的3移过来，解出两个x解： x = 3 +(√6)/2 x = 3 - (√6)/2)