如何求矩形对角线的长度|go2miss

对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。[1] 一个矩形有两条对角线，它们长度相等。[2] 如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。
 ## 步骤

### 1 列出勾股定理的公式。
该公式是
a
2
+
b
2
=
c
2
，其中
a
和
b
是直角三角形直角边的边长，而
c
是直角三角形的斜边长度。[3]
由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。[4] 矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

### 2 将长和宽代入到公式中。
长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是
a
和
b
。
例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式：
3
2
+
4
2
=
c
2
。

### 3 算出长和宽的平方，然后相加求和。
记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
例如：
3
2
+
4
2
=
c
2

9
+
16
=
c
2

25
=
c
2

### 4 将等式两边开平方。
最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。[5] 这样可以算出
c
的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
例如：
25
=
c
2

25
=
c
2

5
=
c

因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。

## 步骤

### 1 列出矩形的面积公式。
该公式是
A
=
l
w
，其中
A
为矩形的面积，
l
为矩形的长，而
w
为矩形的宽。[6]

### 2 将矩形的面积代入到公式中。
确保你代入的是变量
A
。
例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：
35
=
l
w
。

### 3 变换等式，使之变成w{\displaystyle w}的表达式。
等式两边都除以
l
。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。
例如：
35
=
l
w

35
l
=
w
。

### 4 列出矩形的周长公式。
该公式是
P
=
2
(
w
+
l
)
，其中
w
为矩形的宽，而
l
为矩形的长。[7]

### 5 将周长的值代入到公式中。
确保你代入的是变量
P
。
例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：
24
=
2
(
w
+
l
)
。

### 6 等式两边都除以2。
这样就算出了
w
+
l
的值。
例如：
24
=
2
(
w
+
l
)

24
2
=
2
(
w
+
l
)
2

12
=
w
+
l
。

### 7 将w{\displaystyle w}的表达式代入到等式中。
使用你变换面积公式得到的表达式。
例如，如果使用你变换而得的表达式
35
l
=
w
，把它代入周长公式中的
w
：
12
=
w
+
l

12
=
35
l
+
l

### 8 去掉等式中的分母。
等式两边都乘以
l
。
例如：
12
=
35
l
+
l

12
×
l
=
(
35
l
×
l
)
+
(
l
×
l
)

12
l
=
35
+
l
2

### 9 使等式一边等于0。
等式两边都减去一次项。
例如：
12
l
=
35
+
l
2

12
l
−
12
l
=
35
+
l
2
−
12
l

0
=
35
+
l
2
−
12
l

### 10 按项次对等式重新排序。
这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。
例如，
0
=
35
+
l
2
−
12
l
变成了
0
=
l
2
−
12
l
+
35
。

### 11 将二次方程因式分解。
关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
例如，方程
0
=
l
2
−
12
l
+
35
可因式分解成
0
=
(
l
−
7
)
(
l
−
5
)
。

### 12 求l{\displaystyle l}的值。
令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。
例如：
0
=
(
l
−
7
)

7
=
l

及
0
=
(
l
−
5
)

5
=
l
。
因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。

### 13 列出勾股定理的公式。
该公式是
a
2
+
b
2
=
c
2
，其中
a
和
b
是直角三角形直角边的边长，而
c
是直角三角形斜边的边长。[8]
由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。[9] 矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

### 14 将宽和长代入到公式中。
此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：
5
2
+
7
2
=
c
2
。

### 15 算出宽和长的平方，然后相加求和。
记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
例如：
5
2
+
7
2
=
c
2

25
+
49
=
c
2

74
=
c
2

### 16 将等式两边开平方。
最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。[10] 这样可以算出
c
的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
例如：
74
=
c
2

74
=
c
2

8.6024
=
c

因此，面积为
35
c
m
2
而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。

## 步骤

### 1 写下能够说明两条边边长之间关系的等式。
[11] 你可以将之写成长(
l
)或宽(
w
)的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。
例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出
w
的表达式：
w
=
l
+
2
。

### 2 列出矩形的面积公式。
该公式是
A
=
l
w
，其中
A
为矩形的面积，
l
为矩形的长，而
w
为矩形的宽。[12]
如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是
P
=
2
(
w
+
l
)
，其中
w
为矩形的宽，而
l
为矩形的长。[13]

### 3 将矩形的面积代入到公式中。
确保你代入的是变量
A
。
例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：
35
=
l
w
。

### 4 将长或宽的关系表达式代入公式中。
由于你面对的是一个矩形，所以求
l
或
w
变量的值都可以。
例如，如果你知道
w
=
l
+
2
，可以将这个表达式代入面积公式中的
w
：
35
=
l
w

35
=
l
(
l
+
2
)

### 5 列出二次方程。
用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。
例如：
35
=
l
(
l
+
2
)

35
=
l
2
+
2
l

0
=
l
2
+
2
l
−
35

### 6 将二次方程因式分解。
关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
例如，方程
0
=
l
2
+
2
l
−
35
可因式分解成
0
=
(
l
+
7
)
(
l
−
5
)
。

### 7 求l{\displaystyle l}的值。
令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。
例如：
0
=
(
l
+
7
)

−
7
=
l

及
0
=
(
l
−
5
)

5
=
l
。
在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。

### 8 将长或宽的值代入到关系表达式中。
这样就算出了矩形另一条边的边长。
例如，如果你知道矩形的长为5 cm， 且边长之间的关系为
w
=
l
+
2
，可以将长的值5代入到表达式中：
w
=
l
+
2

w
=
5
+
2

w
=
7

### 9 列出勾股定理的公式。
该公式是
a
2
+
b
2
=
c
2
，其中
a
和
b
是直角三角形直角边的边长，而
c
是直角三角形斜边的边长。[14]
由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。[15] 矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

### 10 将宽和长代入到公式中。
此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：
5
2
+
7
2
=
c
2
。

### 11 算出宽和长的平方，然后相加求和。
记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
例如：
5
2
+
7
2
=
c
2

25
+
49
=
c
2

74
=
c
2

### 12 将等式两边开平方。
最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。[16] 这样可以算出
c
的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
例如：
74
=
c
2

74
=
c
2

8.6024
=
c

因此，宽比长要长2 cm，且面积为
35
c
m
2
的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。